Matemático usa IA e diz resolver a conjectura de Hopf

O matemático americano de origem turca Levent Alpöge afirma ter resolvido, com apoio de inteligência artificial, a conjectura de Hopf, aberta desde 1947. Até o fechamento desta matéria, nenhum outro pesquisador confirmou o resultado até agora.

A conjectura pergunta se objetos geométricos de dimensão par também podem ser descritos por números complexos, aqueles que carregam raízes de valores negativos. Heinz Hopf formulou a questão em 1947 e ele mesmo derrubou a versão geral, ao provar que existe uma infinidade de objetos que não aceitam essa descrição.

A esfera de seis dimensões resistiu a todas as tentativas desde então. Alpöge, hoje na empresa de inteligência artificial Anthropic, diz que a resposta para esse último caso é sim.

Vale destacar que este não é o primeiro anúncio do tipo assinado por ele. Antes vieram a conjectura de Jacobi e curvas elípticas de grau 30 e 31, também com uso de IA.

O que a esfera de seis dimensões tem de diferente

A descrição por números complexos amplia o ferramental disponível e simplifica contas que, no campo dos números reais, ficam pesadas. A superfície de uma esfera comum, de duas dimensões, tem estrutura complexa e cabe em uma única coordenada complexa. Desse fato saíram resultados de longo alcance, como a possibilidade de expressar classes inteiras de funções sobre a esfera por meio de polinômios.

Hopf partiu daí e escreveu a pergunta que leva seu nome: “Pode-se transformar toda variedade orientável de dimensão par em uma variedade complexa por meio da introdução de coordenadas locais adequadas?”. Variedade, no vocabulário da geometria, é a generalização de uma superfície para dimensões mais altas.

A resposta dele foi não. A demonstração de Hopf varreu de uma vez todas as generalizações da superfície esférica em dimensões maiores, com uma única exceção. A de seis dimensões ficou de pé, e virou um dos problemas em aberto mais visados da geometria diferencial.

A demonstração tem 108 páginas e contraria um artigo publicado

O trabalho constrói um objeto complexo de três dimensões que se projeta sobre a reta projetiva, com fibras em forma de toros complexos e três pontos especiais tratados um a um. Em seguida mostra que esse objeto é simplesmente conexo e tem a mesma homologia da esfera de seis dimensões, o que o torna difeomorfo a ela. A conclusão registrada no texto diz que a esfera de seis dimensões carrega uma estrutura complexa integrável.

O próprio artigo assume um conflito com a literatura. O resultado é incompatível com um corolário de Frédéric Campana, Jean-Pierre Demailly e Thomas Peternell, publicado na revista Compositio Mathematica em 2020, dentro de uma correção a um trabalho dos mesmos autores de 1998. O texto afirma que as duas afirmações não podem estar corretas ao mesmo tempo.

Por que ninguém pode cravar o resultado ainda

Falta a etapa mais lenta do processo, que é a checagem por outros matemáticos. Um anúncio de solução só vira teorema depois que especialistas percorrem cada passo da argumentação, e aqui são 108 páginas de construção explícita, com matrizes, cartas e identificações escritas uma a uma.

O trabalho não descreve o papel exato da inteligência artificial na construção. Também não há, até agora, manifestação pública dos autores do artigo contrariado. Enquanto essas duas peças não aparecem, o caso segue como candidato a solução, não como problema encerrado.